[AfI] Verschiedene Fläche bei gleichen Stammfunktionen?

[O.D.]

Hi,
möglicherweise habe ich gerade ein Brett vorm Kopf (wenn nicht sogar einen ganzen Gartenzaun). Mir tut sich gerade folgendes Problem auf:
Man betrachte die Funktion und
(wobei ich unterstelle, dass jeder weiß was ich mit dem ? und dem : meine, auch wenn das keine mathematisch formal gültigen operatoren sind, normalerweise schreibt man da halt diese geschwungene Klammer für)
Die Funktionsgraphen sehen also so aus:

Code: Alles auswählen

   ^
   |
   |  __
___|__  ____ f
   |______________________>


Code: Alles auswählen

   ^
   |
   |
___|________ g
   |______________________>


Soweit so gut. Nun betrachten wir die bestimmten Integrale und beider Funktionen von 1 bis 5. Welche man leicht mithilfe der Stammfunktionen an den Stellen 1 bzw. 5 der Funktionen f und g berechnen kann. Also:
mit
mit

HÄ?

Die Fläche unter f unterscheidet sich wie man sich mit einfachen geometrischen Mitteln leicht überzeugt von der unter g. Wie kann aber deren bestimmtes Integral für die gegebenen Grenzen gleich sein?
Ich schätze mal ich hab irgendwo nen kleinen aber wichtigen Punkt irgend einer Definition übersehen, aber ich hab einfach keine Ahnung woran es liegen könnte. Kann mich da jemand erleuchten?
Mein einziger Ansatzpunkt war, dass f eventuell gar nicht Riemann-integrierbar sein könnte, allerdings sehe ich keinen Grund warum dem so sein sollte. Unstetige Funktionen können integriert werden (Integration glättet) solange sie wohldefiniert sind, und wohldefiniert ist f (und g natürlich auch).

Gruß.

P.S.: Für diejenigen die glauben dass es am Sprung bei 2 und 4 liegt: Man kann auch eine Funktion f so finden, dass sie einen solchen Sprung nicht enhält, aber dennoch das selbe Problem liefert. Man ersetze zum Beispiel das Stück zwischen 2 und 4 durch einen entsprechend gestauchten Berg einer Sinuskurve. Man kann sicher sogar eine Teilfunktion so finden, dass sie einen Berg darstellt, aber an den Stellen 2 und 4 nicht einmal eine Unstetigkeitsstelle hervorruft, indem Ihre Steigung dort gegen 0 geht und ihr Funktionswert gegen 1.

[Archangel]

Ich denke das sollte daran liegen, dass nach dem 2. Fundamentalsatz (den du ja zum Ausrechnen der Integrale benutzt hast) eine Stammfunktion der zu integrierenden Funktion in den Integrationsgrenzen gefordert ist.
Das heißt im Klartext, dass dein so nicht zu berechnen ist, da F keine Stammfunktion über dem kompletten Integrationsbereich (1 bis 5) ist. Denn sonst müsste nach Def. 5.6 die Ableitung von F auf dem kompletten Bereich von 1 bis 5 f entsprechen. Tuts aber ja nicht, weils eben für 2 bis 4 nicht stimmt.

HTH
Gruß Chris

[O.D.]

Ich sagte ja dass das F was ich dort beschrieben habe nur für (-oo,2)+(4,oo) gilt. Für [2,4] könnte man entsprechend eine andere Abbildung finden. Insgesammt erhält man dann doch eine Funktion mit zwei verschiedenen Abbildungsvorschriften die man dann getrennt von einander ableiten kann (wobei man dann tatsächlich bei 2 und 4 ein problem bekommt. Aber nach Def 5.6 wäre die dann nicht überall diff'bar. Dort liegt vermutlich das Problem.
Ich finde zwar grad keine Funktion die dieses Problem mit der Unstetigkeitsstelle schließt, aber müsste es theoretisch nicht eine solche geben? (Also wie im P.S. beschrieben)

Gruß

[kb]

Vielleicht sollte man da die einfachste bekannte Methode anwenden:
Du hast im Prinzip 2 Funktionen, und die kannst du auch über ihren Definitionsbereich integrieren.
Die eine bildet auf 1 ab, D=R\[2,4] , also intgegrierst du von 1 bis 2 und von 4-5. F=x wie du schon hingeschrieben hast.
Die andere bildet auf 2 ab, D=[2,4], also ingegrierst du von 2 bis 4. Hier ist aber F*=2x , was dann im Endeffekt deine gewünschte Fläche ergibt.

=> a = F(2)-F(1) + F*(4)-F*(2) + F(5)-F(4)

[O.D.]

Stimmt, das wird der Fehler sein. Verschieden definierte Abschnitte müssen separat integriert werden.
Das steckt ja auch in Def. 5.6. drin. Jedes F was man mit Fallunterscheidung definiert weist ja für diese Funktion eine Unstetigkeitsstelle auf, die wir nicht differenzieren können. Das heißt doch aber dann, dass f keine Stammfunktion besitzt, sehr wohl aber eine berechenbare Fläche mit der x-Achse einschließt.
Was ja Chris auch schon genauso gesagt hat Da stand dann wohl einer bei mir auf der Leitung.

Danke Euch.

[fw]

vielleicht schaust du dir den fundamentalsatz der analysis nochmal an.. dass stammfunktion dem integral entspricht gilt nur für stetige funktionen.. die von dir genannte ist offensichtlich nicht stetig, also musst du das integral aufteilen in zwei teilintegrale bei denen der integrand jeweils stetig ist..

edit: ich denke nicht, dass unstetige funktionen, so wie die vor dir genannte, keine stammfunktion haben.. es istnur so, dass die stammfunktion nicht dem integral entspricht wenn die funktion nicht stetig ist.. ich denke das ist ein unterschied..

[O.D.]

Ja wie gesagt, ich war wohl blind.
Man ist ja manchmal etwas verwirrt

[philipp]

F(x) ist nicht die Stammfunktion von f(x), da nicht gilt:

So einfach ist das.
So is richtig:


Man koennte auch meinen:

was aber falsch ist, da diese Funktion nicht stetig ist, und somit auch nicht differenzierbar.

Wenn du damit integrierst muesste alles stimmen

[O.D.]

So is richtig:

Jo is was dran. Aber muss es nicht heißen:

Ansonsten gibts bei 2 nen Sprung, wenn wir den linksseitigen Grenzwert betrachten gibts 2, aber 2x+2, x=2 gibt ja 6.

Interessanterweise kann man jetzt tatsächlich F(5)-F(1) betrachten ohne das dazwischen zu berücksichtigen!!!

[fw]

Interessanterweise kann man jetzt tatsächlich F(5)-F(1) betrachten ohne das dazwischen zu berücksichtigen!!!

würde mich nicht drauf verlassen, dass das immer funktioniert

[philipp]

Aber muss es nicht heißen:

Ansonsten gibts bei 2 nen Sprung, wenn wir den linksseitigen Grenzwert betrachten gibts 2, aber 2x+2, x=2 gibt ja 6.

Du hast natuerlich recht. hab mir das nur so ueberlegt ohne auszuprobieren.
Also es muss einfach nur stetig sein, und die ableitung muss f(x) sein.
Dann passts.
Und dann stimmt auch das hier immer:

Interessanterweise kann man jetzt tatsächlich F(5)-F(1) betrachten ohne das dazwischen zu berücksichtigen!!!

Die Funktion muesste jetzt so aussehen:

[O.D.]

phil: ja so hab ich mir die im Kopf auch gezeichnet
fw: Doch würde ich. Wegen des 2. Fundamentalsatzes (Satz 5.8 ). Hat man erst eine stetige Funktion deren Ableitung in allen x mit der zu integrierenden Funktion übereinstimmt muss muss es "funktionieren"!

[philipp]

Eine Sache verwundert mich allerdings noch.
Wie ist es mit den Punkten 2 und 4?
Oder nehmen wir einfach mal
Diese Funktion ist definitiv Riemann-Integrierbar, weil sie monoton ist.
Die Stammfunktion muesste sein.
Aber sie ist nicht differenzierbar in den Punkten ...,-1,0,1,2,....
Also nach Skript keine Stammfunktion...
?!

[fw]

nur weil man keine stammfunktion bestimmen kann heisst das nicht dass die funktion nicht integrierbar ist.. e^(-x^2) hat z.b. keine elementare stammfunktion, ist aber (für konkrete integrationsgrenzen) trotzdem integrierbar..

edit: laut CAS gilt übrigens:

[O.D.]

Müßte nicht (für x >= 0) gelten:
(graphisch bestimmt)
?