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von **philipp** » 05.12.06 22:59

Mal ne kleine frage an den Übungsleiter:

Ist bei der Aufgabe 6b mit $e$ ein allgemeines $e \in \mathbb{R}$ gemeint oder $e \approx 2.7183...$ ?

Bin jetzt von den Euler'schen Zahl ausgegangen

von fw » 05.12.06 23:00

höchstwahrscheinlich ist damit die eulersche zahl gemeint.. alles andere würde nur unnötige verwirrung stiften

von **Uebungsleiter AfI** » 06.12.06 10:16

philipp hat geschrieben:Ist bei der Aufgabe 6b mit $e$ ein allgemeines $e \in \mathbb{R}$ gemeint oder $e \approx 2.7183...$ ?
Bin jetzt von den Euler'schen Zahl ausgegangen

Das ist auch richtig. Wenn nicht $e \in \mathbb{R}$ dabei steht, ist $e=\exp(1)$ .
Allerdings macht das an dieser Stelle keinen wirklichen Unterschied.

von **lebowski** » 06.12.06 16:23

eine multiple choice aufgabe ist: "die geometrische reihe für |x|<1 konvergiert nicht absolut. (wahr oder falsch?)"

eine geometrische reihe hat doch die form $\sum_{k=1}^{\infty} a_k*x^k$ , wobei $a_k$ konstant ist, oder?

*in latex umgeeditet*

von **Uebungsleiter AfI** » 06.12.06 16:47

lebowski hat geschrieben:eine multiple choice aufgabe ist: "die geometrische reihe für |x|<1 konvergiert nicht absolut. (wahr oder falsch?)"

eine geometrische reihe hat doch die form $\sum_{k=1}^{\infty} a_k x^k$ , wobei ak konstant ist, oder?

1. Es gibt da ein Thema zu Latex, schaue dort doch, wie man Deine Summe schöner schreibt (auch wenn dieses html-latex so schön auch nicht aussieht).

2. Die geometrische Reihe ist für alle $x \in \mathbb{R}$ , für die die Summe existiert, definiert als $\sum_{k=0}^{\infty}x^k$ (Fehler im Skript).

Allgemeiner findet man geometrische Reihen der Form $\sum_{k=0}^{\infty}a x^k$ mit $a \in \mathbb{R}$ (sagen wir ungleich 0).

Das macht aber keinen Unterschied.

von **Fighter_MV** » 06.12.06 17:22

Eine Frage.

Wenn ich die Aufgabe habe "Für welche x ist die PR konvergent", dann untersuche ich die Funktion auf Konvergenz in Abhängidkeit von x und schaue dann, für welche x sie konvergent ist.

Steht das irgendwie im Zusammenhang mit dem Konvergenzradius? Kann ich aus dem Konvergenzradius schließen, für welche x die Funktion konvergent ist?

von **Uebungsleiter AfI** » 06.12.06 17:41

Satz 7.8 im Skript verrät eigentlich alles, was den Zusammenhang von Konvergenz und Konvergenzradius beschreibt.
Weiß man, wo eine Reihe konvergiert, kann man den Konvergenzradius angeben.
Kennt man den Konvergenzradius und ist dieser nicht $\infty$ und nicht 0, so kann man für alle Punkte in $\mathbb{R}$ bis auf 2 Ausnahmen angeben, ob die Reihe dort konvergiert.

Genauers gibt es im Skript oder in der eigenen Vorlesungsmitschrift nachzulesen.

von **philipp** » 06.12.06 17:58

Fragen zur Aufgabe 4c)

Wenn wir wissen, dass $\text{zu jedem}\ \varepsilon > 0\ \text{ein}\ K \in \mathbb{N}\ \text{existiert, sodass}\ \forall k > K\ \text{gilt}:\ |a_k-a|<\varepsilon$ können wir doch automatisch darauf schließen, dass auch $|a_k-a|< \frac{\varepsilon}{3\cdot M^2}$ gilt, da das ja ein genausogutes Epsilon ist, oder? Wie ist also dieses "Zeigen" im Hinweis zu verstehen?
Im zweiten Absatz ist gefragt, die punktweise Konvergenz auf ganz $\mathbb{R}$ aus der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Intervallen der Form $[-M,M]$ zu folgern. Warum nicht einfach direkt die punktweise Konvergenz zeigen? Das ist doch viel einfacher? (mit Hilfe der gegebenen Grenzwerte, der Grenzwertsätze und der Def. der punktweisen Konvergenz...)

von **Uebungsleiter AfI** » 06.12.06 22:56

philipp hat geschrieben:Fragen zur Aufgabe 4c)
Wenn wir wissen, dass $\text{zu jedem}\ \varepsilon > 0\ \text{ein}\ K \in \mathbb{N}\ \text{existiert, sodass}\ \forall k > K\ \text{gilt}:\ |a_k-a|<\varepsilon$ können wir doch automatisch darauf schließen, dass auch $|a_k-a|< \frac{\varepsilon}{3\cdot M^2}$ gilt, da das ja ein genausogutes Epsilon ist, oder? Wie ist also dieses "Zeigen" im Hinweis zu verstehen?
Im zweiten Absatz ist gefragt, die punktweise Konvergenz auf ganz $\mathbb{R}$ aus der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Intervallen der Form $[-M,M]$ zu folgern. Warum nicht einfach direkt die punktweise Konvergenz zeigen? Das ist doch viel einfacher? (mit Hilfe der gegebenen Grenzwerte, der Grenzwertsätze und der Def. der punktweisen Konvergenz...)

Da ist tatsächlich nicht viel zu zeigen.
Gleichmäßige Konvergenz auf $[-M,M]$ für beliebiges $M \in \N$ oder $M>0$ ist stärker als nur punktweise Konvergenz. Als Fachterminus heißt das dann lokal gleichmäßige Konvergenz, denn es ist äquivalent dazu, dass jeder Punkt eine $\varepsilon$ -Umgebung (daher lokal) hat, auf der die Konvergenz gleichmäßig ist.
Deshalb soll man hier die lokal gleichmäßige Konvergenz zeigen. Und dann ist es praktisch, daraus die punktweise Konvergenz zu folgern (und auch ein häufig verwendeter Trick, aus strikten lokalen Eigenschaften schwächere globale Eigenschaften zu folgern).

von **Max** » 07.12.06 13:38

Kann man bei der 7b) irgendwie das lästige $n^2$ loswerden? Das stört sowohl beim ziehen der n. Wurzel als auch bei $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ Oder gibt es hier einen anderen Ansatz zum lösen der Aufgabe?

von fw » 07.12.06 13:43

Max hat geschrieben: $n^2$ loswerden? Das stört sowohl beim ziehen der n. Wurzel

nö, tut es nicht

nte wurzel aus $x$ ist nichts anderes als $x^{1/n}$ .. und $x^{n^2}$ ist nichts anderes als $x^{n * n}$ .. also ist nte wurzel aus $x^{n^2}$ nichts anderes als $x^{n * n * 1/n} = x^n$

von **Fighter_MV** » 07.12.06 18:36

ich glaube er meinte eher das $n^2$ im Zähler oder?

Da steht ja $\frac{\sqrt[n]{n^2}}{2^n}*x$

von fw » 07.12.06 18:47

Das ist doch noch trivialer dann, nte wurzel aus n konvergiert für n gegen unendlich nämlich gegen 1.. potenzgesetze angucken, 2 rausholen, also gegen $1^2$ , bla!

von **Deon** » 07.12.06 20:14

Sagt mal besteht das blatt eigentlich nur aus Konvergenzradien bestimmen außer A4 ?

Ich mein A5 und A7 sowieso, aber A6 ... muss ich da net den Konvergenzradius bestimmen?

Ich mein wenn das x dann größer ist als der Radius divergiert die Reihe, Funktion, Folge, wie auch immer und wenn das x zwischen -R und R liegt konvergiert die Folge

oder versteh ich da was falsch

von fw » 07.12.06 20:19

Deon hat geschrieben:Sagt mal besteht das blatt eigentlich nur aus Konvergenzradien bestimmen außer A4 ?

stimmt :-)

Deon hat geschrieben:Ich mein A5 und A7 sowieso, aber A6 ... muss ich da net den Konvergenzradius bestimmen?

ja, auch bei A6 soll/kann man den Konvergenzradius bestimmen. Wobei du mit der b) aufpassen musst weil der Entwicklungspunkt nicht 0 ist und du, falls du hinterher ein Intervall angeben möchtest, dieses "verschieben" musst.

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[AfI] Übungsblatt 7

Übungsblatt 7

Re: Übungsblatt 7

Geometrische Reihe

Konvergenzradius und Konvergenz