[AfI] Übungsblatt 6

[Fighter_MV]

Hi!

Hab mal ne Frage zum Wurzelkriterium.

es lautet ja : P:= n-te wurzel von betrag an, für n --> unendlich


Wenn ich das jetzt mit 1/n machen würde (wir wissen ja die Reihe konvegriert nicht) ständ da:

n-te Wurzel (|1/n|)

Für n -- > läuft der Betrag unter der Wurzel gegen Null.

Außerdem läuft das n auf der Wurzel auch gegen unendlich, das heißt der gesamte Term läuft "noch mehr" gegen Null.

Damit wäre P < 1 und die Folge wäre konvergent o.o

Wo liegt mein Denkfehler?

[oxygen]

1/n ist konvergent. Klassissches Beispiel für eine Nullfolge. z.B. beim Sandwichlemma ganz praktisch.

[Fighter_MV]

Im Skript steht aber, dass 1/n (harmonische Reihe) divergent ist und 1/k^2 konvergent -.-

Man könnte mit dem oben genannten Schema aber beiden beweisen dass sie konvergent sind

[oxygen]

Hint: Reihe != Folge

[Fighter_MV]

Das Wurzelkriterium gilt doch für Reihen oder nicht?

Und die Harmonische Reihe ist eine Reihe, wie der Name schon sagt.

[oxygen]

Klare Anwort: Jein.

Genaures steht bei Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium

[fw]

es gilt für reihen, ja.. aber man untersucht die konvergenz der folge die summiert wird und leitet daraus dann eigenschaften über die reihe her.. siehe satz 6.6

edit: unglücklich ausgedrückt.. man untersucht die konvergenz der wurzel natürlich :-)

[Uebungsleiter AfI]

Hi!
Wenn ich das jetzt mit 1/n machen würde (wir wissen ja die Reihe konvegriert nicht) ständ da:

n-te Wurzel (|1/n|)

Für n -- > läuft der Betrag unter der Wurzel gegen Null.

Außerdem läuft das n auf der Wurzel auch gegen unendlich, das heißt der gesamte Term läuft "noch mehr" gegen Null.
[...]
Wo liegt mein Denkfehler?

Die Wurzel einer Zahl zwischen 0 und 1 ist größer als diese Zahl! Deshalb läuft die eine Konvergenz gegen 0 der anderen Konvergenz (größer werden) zuwider, am Ende treffen sie sich übrigens bei 1, vgl. auch Skript, Seite 69, (3) im Beweis des Wurzelkriteriums.

[Fighter_MV]

also ist 1/n jetzt doc konvergent?

[Uebungsleiter AfI]

Du meinst, ob
(=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k})
konvergent ist?
Der Grenzwert beim Wurzelkriterium ist 1, das erlaubt keine Aussage.

[fw]

also ist 1/n jetzt doc konvergent?

die folge 1/n ist konvergent für n gegen unendlich, ja.. die unendliche reihe über 1/n dagegen nicht

[CrazyPumuckl]

Hi.

Kann jemand Tipps zur Aufgabe 6 geben? Habe schon zig Reihen und beschr. Folgen ausprobiert, aber alles konvergiert.

Danke im Voraus.

[philipp]

Also denk dran, bei a_k muss die Reihe konvergent sein, bei b_k nur eine Folge und zwar nicht mal konvergent sondern nur beschraenkt. Da laesst sich was finden. Schau dir nochmal den Leibniz an...

Ich haette da mal ne Frage zur 5c.
Offentsichtlich gehen sowohl der Quotient der a_(n+1) / a_n als auch die n-te Wurzel von a_n gegen 1. Mit hilfe weitere Konvergenzkriterien waere die Aufgabe sicher leicht zu loesen, wie man bei 5a,5b sieht. Aber wie soll es mit einem dieser beiden gehen?

[CrazyPumuckl]

lol, ja wenn ich mir den leibniz nicht angeschaut hätte, wäre ich ganz schön dumm. das blöde ist halt: man muss eine reihe a_k finden, wobei a_k keine monoton wachsende nullfolge ist, aber trotzdem konvergiert. da liegt nunmal der knackpunkt. wählt man für a_k dinge wie 1/k^2 konvergiert a_k*(-1)^k, wählt man keinen bruch finde ich nichts was für sich als reihe konvergiert...

[Fighter_MV]

Also denk dran, bei a_k muss die Reihe konvergent sein, bei b_k nur eine Folge und zwar nicht mal konvergent sondern nur beschraenkt. Da laesst sich was finden. Schau dir nochmal den Leibniz an...

Ich haette da mal ne Frage zur 5c.
Offentsichtlich gehen sowohl der Quotient der a_(n+1) / a_n als auch die n-te Wurzel von a_n gegen 1. Mit hilfe weitere Konvergenzkriterien waere die Aufgabe sicher leicht zu loesen, wie man bei 5a,5b sieht. Aber wie soll es mit einem dieser beiden gehen?

5 c geht nicht gegen 1

bei mir läuft sie gegen null am ende steht da so etwas wie

k^3 / (k^3+3k^2+3k+1) und das geht gegen null